Cálculo Exemplos

${(\csc (x) - \cot (x))}^{- 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x) - \cot (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x) - \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\csc (x) - \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cot (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Etapa 5

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x))$

Etapa 6

Multiplique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x))$

Etapa 6.2

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $1$ .

$- {(\csc (x) - \cot (x))}^{- 2} (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x))$