Cálculo Exemplos

${(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(3 x - 1)}^{7}$ e $g (x) = {(2 x + 1)}^{5}$ .

${(3 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{5}] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x + 1$ .

${(3 x - 1)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(3 x - 1)}^{7} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 1$ .

${(3 x - 1)}^{7} (5 {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(3 x - 1)}^{7}$ .

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{7}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x - 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x - 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + {(2 x + 1)}^{5} (7 {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Mova $7$ para a esquerda de ${(2 x + 1)}^{5}$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 \cdot {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} (3 + 0)$

Etapa 5.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.7.1

Some $3$ e $0$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 7 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6} \cdot 3$

Etapa 5.7.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

Etapa 5.7.3

Fatore ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ de $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4} + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ .

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Etapa 5.7.3.1

Fatore ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ de $10 {(3 x - 1)}^{7} {(2 x + 1)}^{4}$ .

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + 21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$

Etapa 5.7.3.2

Fatore ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ de $21 {(2 x + 1)}^{5} {(3 x - 1)}^{6}$ .

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$

Etapa 5.7.3.3

Fatore ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4}$ de ${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1)) + {(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (21 (2 x + 1))$ .

${(3 x - 1)}^{6} {(2 x + 1)}^{4} (10 (3 x - 1) + 21 (2 x + 1))$