Cálculo Exemplos

${(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(3 x - 1)}^{4}$ e $g (x) = {(- 2 x + 9)}^{5}$ .

${(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(- 2 x + 9)}^{5}] + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = - 2 x + 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 2 x + 9$ .

${(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(3 x - 1)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 2 x + 9$ .

${(3 x - 1)}^{4} (5 {(- 2 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(3 x - 1)}^{4}$ .

$5 \cdot {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [- 2 x + 9] + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 + \frac{d}{d x} [9]) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 2 + 0) + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $- 2$ e $0$ .

$5 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} \cdot - 2 + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 3.7.2

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{4}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x - 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x - 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + {(- 2 x + 9)}^{5} (4 {(3 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(- 2 x + 9)}^{5}$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 \cdot {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} (3 + 0)$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.1

Some $3$ e $0$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 4 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3} \cdot 3$

Etapa 5.7.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Fatore $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4} + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $- 10 {(3 x - 1)}^{4} {(- 2 x + 9)}^{4}$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$

Etapa 6.1.2

Fatore $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $12 {(- 2 x + 9)}^{5} {(3 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (6 (- 2 x + 9))$

Etapa 6.1.3

Fatore $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4}$ de $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (6 (- 2 x + 9))$ .

$2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de $2 {(3 x - 1)}^{3} {(- 2 x + 9)}^{4} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$ .

$2 {(- 2 x + 9)}^{4} {(3 x - 1)}^{3} (- 5 (3 x - 1) + 6 (- 2 x + 9))$