Cálculo Exemplos

${(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 2 x^{3} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} + 3$ .

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 6

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x^{2} + 0)$

Etapa 12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x^{2})$

Etapa 12.2

Combine $6$ e $\frac{3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Etapa 12.3

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{18 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Etapa 12.4

Combine $\frac{18 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{18 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Etapa 12.5

Fatore $2$ de $18 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Etapa 13.4

Divida $9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Etapa 14

Reordene os fatores de $9 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$9 x^{2} {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$