Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} + 4 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 8 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 x^{2} + 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 8$