Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 9$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 9) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 9 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 9 e^{x}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) - 14 e^{x} x + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $- 14 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x) + 9 e^{x}}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $e^{x}$ de $9 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x) + e^{x} \cdot 9}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.4.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (7 x^{2}) + e^{x} (- 14 x)$ .

$\frac{e^{x} (7 x^{2} - 14 x) + e^{x} \cdot 9}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.4.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (7 x^{2} - 14 x) + e^{x} \cdot 9$ .

$\frac{e^{x} (7 x^{2} - 14 x + 9)}{{(7 x^{2} + 9)}^{2}}$