Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Fatore $7 e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $7 e^{x}$ de $7 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $7 e^{x}$ de $- 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Fatore $7 e^{x}$ de $7 e^{x}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Fatore $7 e^{x}$ de $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Fatore $7 e^{x}$ de $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

Etapa 4.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.5.1

Fatore $7$ de $7 x^{2} + 7$ .

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Etapa 4.5.1.1

Fatore $7$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

Etapa 4.5.1.2

Fatore $7$ de $7$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

Etapa 4.5.1.3

Fatore $7$ de $7 (x^{2}) + 7 (1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Aplique a regra do produto a $7 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Cancele o fator comum de $7$ e $49$ .

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Etapa 4.6.1

Fatore $7$ de $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.6.2.1

Fatore $7$ de $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$