Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{8 - 3 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 - 3 x$ .

$\frac{(8 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(8 - 3 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $8 - 3 x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \cdot 1}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- 3 x)) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 (x \cdot x)) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{16 x - 6 x^{2} + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Some $- 6 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{16 x - 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{- 3 x^{2} + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.5

Fatore $x$ de $- 3 x^{2} + 16 x$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x) + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Fatore $x$ de $16 x$ .

$\frac{x (- 3 x) + x \cdot 16}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $x$ de $x (- 3 x) + x \cdot 16$ .

$\frac{x (- 3 x + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (- (3 x) + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.7

Reescreva $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x) - 1 (- 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.9

Reescreva $- (3 x - 16)$ como $- 1 (3 x - 16)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (3 x - 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$