Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 x - 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1] - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(2 x - 5) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x - 2) - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Subtraia $10 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 10 + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $- 14 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 10 + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Some $10$ e $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 10 x + 12$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 5 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x + 6)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 3.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{2 ((x - 3) (x - 2))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{{(2 x - 5)}^{2}}$