Cálculo Exemplos

$\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$4 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.1

Mova $x^{3}$ .

$4 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$4 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.2

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.10

Combine $- 5$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 3.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 16 x^{- 5} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 16$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$