Cálculo Exemplos

$\frac{30 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{30 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 3.3

Multiplique ${(x^{2} + 3)}^{2}$ por $1$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 3$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$30 \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 5.2

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$30 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{2} + 3$ de $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$30 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $x^{2} + 3$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$30 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x^{2} + 3$ de ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$30 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$30 \frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$30 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 10

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$30 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 14

Some $1$ e $1$ .

$30 \frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 15

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$30 \frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 16

Combine $30$ e $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$\frac{30 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 (- 3 x^{2}) + 30 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 17.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.2.1

Multiplique $- 3$ por $30$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 30 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Etapa 17.2.2

Multiplique $30$ por $3$ .

$\frac{- 90 x^{2} + 90}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$