Cálculo Exemplos

$3 x {(16 - x)}^{3}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x {(16 - x)}^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 16 - x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 4.9

Multiplique ${(16 - x)}^{3}$ por $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Etapa 5.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Etapa 5.3

Fatore $3 {(16 - x)}^{2}$ de $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3 {(16 - x)}^{2}$ de $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $3 {(16 - x)}^{2}$ de $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Etapa 5.3.3

Fatore $3 {(16 - x)}^{2}$ de $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Etapa 5.4

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Etapa 5.5

Reescreva ${(16 - x)}^{2}$ como $(16 - x) (16 - x)$ .

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.6

Expanda $(16 - x) (16 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1.1

Multiplique $16$ por $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.3

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.1.5.1

Mova $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.7.2

Subtraia $16 x$ de $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.9

Simplifique.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $3$ por $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.9.2

Multiplique $- 32$ por $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Etapa 5.10

Expanda $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- 4$ por $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.2

Multiplique $768$ por $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.4.1

Mova $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.5

Multiplique $- 96$ por $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.6

Multiplique $16$ por $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.8.1

Mova $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.11.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.8.3

Some $1$ e $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.9

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Etapa 5.11.10

Multiplique $16$ por $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 5.12

Subtraia $1536 x$ de $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 5.13

Some $384 x^{2}$ e $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$