Cálculo Exemplos

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $3 x^{2} + 27$ por $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $6 x$ e $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 7

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 8

Subtraia $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 9

Combine $4$ e $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.1

Fatore $12$ de $- 12 x^{2} + 108$ .

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Etapa 10.3.1.1

Fatore $12$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3.1.2

Fatore $12$ de $108$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3.1.3

Fatore $12$ de $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3.3

Reordene $- x^{2}$ e $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.3.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 10.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.4.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 27$ .

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Etapa 10.4.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

Etapa 10.4.1.2

Fatore $3$ de $27$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Etapa 10.4.1.3

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

Etapa 10.4.2

Aplique a regra do produto a $3 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 10.4.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

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Etapa 10.5.1

Fatore $3$ de $12 (3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 10.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.2.1

Fatore $3$ de $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Etapa 10.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$