Cálculo Exemplos

$\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$

Etapa 1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{6 x}$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

$8 \frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $(5 x + 2) e^{6 x}$ .

$8 \frac{6 \cdot ((5 x + 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Some $5$ e $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9.3

Combine $8$ e $\frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 ((6 (5 x) + 6 \cdot 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x} + 6 \cdot 2 e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $5$ por $6$ .

$\frac{8 (30 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $30$ por $8$ .

$\frac{240 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 8 (12 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Multiplique $12$ por $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} - 40 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $40 e^{6 x}$ de $96 e^{6 x}$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$\frac{240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $8 e^{6 x}$ de $240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $8 e^{6 x}$ de $240 e^{6 x} x$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Fatore $8 e^{6 x}$ de $56 e^{6 x}$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Fatore $8 e^{6 x}$ de $8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x + 7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$