Cálculo Exemplos

$\frac{7 + \sin (x)}{7 x + \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7 + \sin (x)$ e $g (x) = 7 x + \cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [7 + \sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 x \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Expanda $(- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 (7 - \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.4.1.1

Multiplique $- 7$ por $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 6.3.1.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.2

Subtraia $7 \sin (x)$ de $7 \sin (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 0 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4.3

Some $- 49$ e $0$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.3

Reorganize os termos.

$\frac{7 x \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{7 x \cos (x) + 1 - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 6.3.5

Subtraia $49$ de $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) - 48}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$