Cálculo Exemplos

$4 \sqrt{x y}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x y}$ como ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 9

Mova ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 11

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 13

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Combine $y$ e $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 16

Multiplique $\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Combine os termos.

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Etapa 17.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 17.2.2.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 17.2.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2.2.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$