Cálculo Exemplos

$\frac{5 x}{2^{x}}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{2^{x}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 2^{x}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(2^{x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$5 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2^{x}$ por $1$ .

$5 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $2$ .

$5 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Etapa 5

Combine $5$ e $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{5 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + 5 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Etapa 6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $5 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - 5 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique $- 5 \ln (2)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{5 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{5})))}{2^{2 x}}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (2^{5}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Etapa 6.2.2

Reordene os fatores em $5 \cdot 2^{x} - \ln (32) x \cdot 2^{x}$ .

$\frac{5 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (32)}{2^{2 x}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Etapa 6.4

Fatore $2^{x}$ de $- 2^{x} x \ln (32) + 5 \cdot 2^{x}$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $2^{x}$ de $- 2^{x} x \ln (32)$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 5 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Etapa 6.4.2

Fatore $2^{x}$ de $5 \cdot 2^{x}$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5}{2^{2 x}}$

Etapa 6.4.3

Fatore $2^{x}$ de $2^{x} (- x \ln (32)) + 2^{x} \cdot 5$ .

$\frac{2^{x} (- x \ln (32) + 5)}{2^{2 x}}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $2^{x}$ e $2^{2 x}$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $2^{2 x}$ de $2^{x} (- x \ln (32) + 5)$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x}}$

Etapa 6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (32) + 5))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Etapa 6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (32) + 5)}{1}$

Etapa 6.5.2.4

Divida $2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$ por $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (32) + 5)$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2^{- x} (- x \ln (32)) + 2^{- x} \cdot 5$

Etapa 6.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 5$

Etapa 6.8

Mova $5$ para a esquerda de $2^{- x}$ .

$- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$

Etapa 6.9

Reordene os fatores em $- \ln (32) \cdot 2^{- x} x + 5 \cdot 2^{- x}$ .

$- x \cdot 2^{- x} \ln (32) + 5 \cdot 2^{- x}$