Cálculo Exemplos

$e^{x^{2}} \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x^{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 3

Combine $e^{x^{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{x^{2}} (2 x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$2 e^{x^{2}} x \ln (x) + \frac{e^{x^{2}}}{x}$

Etapa 6.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x \ln (x) + \frac{e^{x^{2}}}{x}$ .

$2 x e^{x^{2}} \ln (x) + \frac{e^{x^{2}}}{x}$