Cálculo Exemplos

$\frac{d}{d x} \cdot (\sin^{2} (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin^{2} (x)$ e $g (x) = \log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\log_{7} (\sin^{3} (x))] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{7} (x)$ e $g (x) = \sin^{3} (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{7} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\log_{7} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \ln (7)}$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{u_{1} \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)}$ e $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin^{3} (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $\sin^{2} (x)$ de $\sin^{3} (x) \ln (7)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine $3$ e $\frac{1}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{3}{\sin (x) \ln (7)} (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.2

Combine $\sin^{2} (x)$ e $\frac{3}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 3}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cdot \sin^{2} (x)}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $\sin (x)$ de $3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \ln (7)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) (\ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \cos (x) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 7

Combine $\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 9

Mova $2$ para a esquerda de $\log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \cdot \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 10

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \cos (x)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Etapa 11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Etapa 11.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

Etapa 11.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$