Cálculo Exemplos

$\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \csc (4 x)$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 4.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 5.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Etapa 7.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Etapa 7.4

Combine frações.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $e^{3 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$ .

$\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.1.2

Reordene os fatores em $- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{- 4 e^{3 x} \csc (4 x) \cot (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.2

Reordene os termos.

$\frac{- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Fatore $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

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Etapa 8.3.1.1

Fatore $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Fatore $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $- 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.1.3

Fatore $e^{3 x} \csc (4 x)$ de $e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.2

Fatore $- 1$ de $- 4 \cot (4 x) - 3$ .

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Etapa 8.3.2.1

Fatore $- 1$ de $- 4 \cot (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 3)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 1 (3))}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- (4 \cot (4 x)) - 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) \cdot - 1 (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.3.3

Fatore o negativo.

$\frac{- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.4

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ e $e^{6 x}$ .

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Etapa 8.4.1

Fatore $e^{6 x}$ de $- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

Etapa 8.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.4.2.1

Fatore $e^{6 x}$ de $2 e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Etapa 8.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

Etapa 8.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$

Etapa 8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$