Cálculo Exemplos

${\cos (x)}^{\sin (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva ${\cos (x)}^{\sin (x)}$ como $e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})$ movendo $\sin (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (\cos (x))}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x) \ln (\cos (x))$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \sec (x) (- \sin (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 8

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 10

Some $1$ e $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 11

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \cos (x))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x))) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\ln (\cos (x)) \cos (x))$

Etapa 12.2

Remova os parênteses.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sec (x) (- \sin^{2} (x)) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x)) \cos (x)$

Etapa 12.3

Reordene os termos.

$- e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sin^{2} (x) \sec (x) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \cos (x) \ln (\cos (x))$