Cálculo Exemplos

$\frac{9 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

Etapa 1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x + 6)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$9 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 6$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 6$ .

$9 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{x + 6}$ e $x^{2}$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Some $1$ e $0$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $\frac{x^{2}}{x + 6}$ por $1$ .

$9 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 6

Multiplique $\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$9 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine.

$9 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 7.3.2

Reescreva a expressão.

$9 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 9

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 9.2

Combine $9$ e $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ .

$\frac{9 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Simplifique $- 2 \ln (x + 6)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + 9 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.4

Multiplique $6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.4.2

Reordene $\ln ({(x + 6)}^{2})$ e $- 6$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.4.3

Simplifique $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.5.1.1

Mova $x$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.5.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{2} + 9 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.7

Multiplique $9 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 9 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.7.2

Simplifique $- 9 \ln ({(x + 6)}^{2})$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{9})) + 9 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.8

Multiplique $9 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{9})) - 9 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.8.2

Reordene $\ln ({(x + 6)}^{12})$ e $- 9$ .

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{9})) - 9 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.8.3

Simplifique $- 9 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$\frac{9 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{9})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{9}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.9.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 6)}^{2})}^{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 9}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.9.2.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{9}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.9.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 6)}^{12})}^{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.9.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 9}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.1.9.3.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.3.2

Reordene os fatores em $9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}) x$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.4

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.4.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.5

Fatore $x$ de $9 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Fatore $x$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{x (9 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18}) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.5.2

Fatore $x$ de $- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{18})$ .

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{18})) - x \ln ({(x + 6)}^{108})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.5.3

Fatore $x$ de $- x \ln ({(x + 6)}^{108})$ .

$\frac{x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.5.4

Fatore $x$ de $x (9 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{18}))$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.5.5

Fatore $x$ de $x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{108}))$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

Etapa 10.6

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} + 6 x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

Etapa 10.6.2

Fatore $x^{4}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

Etapa 10.6.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ .

$\frac{x (9 x - x \ln ({(x + 6)}^{18}) - \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{4} (x + 6)}$

Etapa 10.7

Expanda $\ln ({(x + 6)}^{18})$ movendo $18$ para fora do logaritmo.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{108}))}{x^{4} (x + 6)}$

Etapa 10.8

Expanda $\ln ({(x + 6)}^{108})$ movendo $108$ para fora do logaritmo.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 6)) - (108 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

Etapa 10.9

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.9.1

Fatore $x$ de $x^{4} (x + 6)$ .

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 6)) - (108 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Etapa 10.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (9 x - x (18 \ln (x + 6)) - (108 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

Etapa 10.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 x - x (18 \ln (x + 6)) - (108 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.10.1

Multiplique $18$ por $- 1$ .

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 108 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$\frac{9 x - 18 x \ln (x + 6) - 108 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.3

Fatore $9$ de $9 x - 18 x \ln (x + 6) - 108 \ln (x + 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.10.3.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$\frac{9 (x) - 18 x \ln (x + 6) - 108 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.3.2

Fatore $9$ de $- 18 x \ln (x + 6)$ .

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 6)) - 108 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.3.3

Fatore $9$ de $- 108 \ln (x + 6)$ .

$\frac{9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 6)) + 9 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.3.4

Fatore $9$ de $9 (x) + 9 (- 2 x \ln (x + 6))$ .

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 9 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

Etapa 10.10.3.5

Fatore $9$ de $9 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 9 (- 12 \ln (x + 6))$ .

$\frac{9 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$