Cálculo Exemplos

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 9 x^{3} + 3 x^{2}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{3} + 3 x^{2}] - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{x (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 (2 x)) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{27 x \cdot x^{2} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{27 (x^{2} x) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{27 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{27 x^{2 + 1} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{27 x^{3} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{27 x^{3} + 6 x \cdot x - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 (x \cdot x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $9 x^{3}$ de $27 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3.4

Fatore $3 x^{2}$ de $18 x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $3 x^{2}$ de $18 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 3.4.2

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)}{x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Etapa 3.5.2

Divida $3 (6 x + 1)$ por $1$ .

$3 (6 x + 1)$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (6 x) + 3 \cdot 1$

Etapa 3.7

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 x + 3 \cdot 1$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$18 x + 3$