Cálculo Exemplos

$\sec^{5} (4 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (4 x)$ .

$5 \sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$5 \sec^{4} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3

Eleve $\sec (4 x)$ à potência de $1$ .

$5 (\sec^{1} (4 x) \sec^{4} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 {\sec (4 x)}^{1 + 4} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 5

Some $1$ e $4$ .

$5 \sec^{5} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $20$ por $1$ .

$20 \sec^{5} (4 x) \tan (4 x)$