Cálculo Exemplos

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2

Fatore $x$ de $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ .

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Etapa 4.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (3 \cos (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2.2

Fatore $x$ de $- 2 \sin (3 x) x$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Etapa 4.5.2.3

Fatore $x$ de $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

Etapa 6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$