Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x - 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x - 1)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x - 1)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x - 1)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x - 1)$ .

$2 \sin (x - 1) \frac{d}{d x} [\sin (x - 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 1$ .

$2 \sin (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (x - 1) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$2 \sin (x - 1) (\cos (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \sin (x - 1) \cos (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \sin (x - 1) \cos (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \sin (x - 1) \cos (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \sin (x - 1) \cos (x - 1) \cdot 1$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \sin (x - 1) \cos (x - 1)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x - 1) \cos (x - 1)$ .

$2 \cos (x - 1) \sin (x - 1)$

Etapa 4.2

Reordene $2 \cos (x - 1)$ e $\sin (x - 1)$ .

$\sin (x - 1) (2 \cos (x - 1))$

Etapa 4.3

Reordene $\sin (x - 1)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x - 1) \cos (x - 1)$

Etapa 4.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 (x - 1))$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (2 x + 2 \cdot - 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\sin (2 x - 2)$