Cálculo Exemplos

${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 6.3

Mova ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}} \cos (x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Separe as frações.

$\frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 9.2

Converta de $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ em ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 9.3

Combine $\frac{\cos (x)}{3}$ e ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 9.4

Reordene os fatores em $\frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$