Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (\ln (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (\ln (x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (\ln (x))$ .

$2 \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $2$ .

$\frac{2}{x} \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))$

Etapa 4.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\sin (\ln (x))$ .

$\frac{2 \sin (\ln (x))}{x} \cos (\ln (x))$

Etapa 4.3

Combine $\frac{2 \sin (\ln (x))}{x}$ e $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))}{x}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{\sin (2 \ln (x))}{x}$

Etapa 5.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\sin (\ln (x^{2}))}{x}$