Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (5 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (5 x)$ .

$2 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$2 \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$2 \sin (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 \sin (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \sin (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 \sin (5 x) \cos (5 x)$

Etapa 3.4.2

Reordene os fatores de $10 \sin (5 x) \cos (5 x)$ .

$10 \cos (5 x) \sin (5 x)$