Cálculo Exemplos

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sec (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 4

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 5

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Fatore $\sec (x)$ de $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

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Etapa 9.2.1.1

Fatore $\sec (x)$ de $1 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.3

Fatore $\sec (x)$ de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.4

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.1.5

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.5

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 9.2.5.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.5.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ .

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Etapa 9.3.1

Fatore $\sec (x)$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.3.3

Fatore $\sec (x)$ de $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $\sec (x) + 1$ e ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

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Etapa 9.4.1

Reordene os termos.

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.4.2

Fatore $1 + \sec (x)$ de $\sec (x) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9.4.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.4.3.1

Fatore $1 + \sec (x)$ de ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Etapa 9.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Etapa 9.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$