Cálculo Exemplos

$\sin^{7} (\cos (2 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \sin (\cos (2 x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (\cos (2 x))$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (2 x)$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (2 x)$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) (\cos (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$- 14 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 14 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 4.5

Multiplique $- 14$ por $1$ .

$- 14 \sin^{6} (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x)$