Cálculo Exemplos

$e^{x} \sin (4 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (4 x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$e^{x} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{x} (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$e^{x} (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (4 \cos (4 x)) + \sin (4 x) e^{x}$

Etapa 5

Reordene os termos.

$4 e^{x} \cos (4 x) + e^{x} \sin (4 x)$