Cálculo Exemplos

$e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $2 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Mova $e^{x}$ .

$2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $2 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$0 - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $2 e^{x}$ de $0$ .

$- 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4.3.4

Some $- 2 e^{x}$ e $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Etapa 4.3.5

Some $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$