Cálculo Exemplos

$e^{x \sqrt{7 x + 19}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7 x + 19}$ como ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 x + 19$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.3

Mova ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9.4

Combine $\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 19$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Multiplique $7$ por $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Como $19$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $19$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Combine frações.

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Etapa 15.1

Some $7$ e $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.2

Combine $\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ e $7$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15.3

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 17

Multiplique ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 18

Para escrever ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 19

Combine ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Multiplique ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 21.1

Mova ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.4

Some $1$ e $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.5

Divida $2$ por $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Simplifique a expressão.

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Etapa 22.1

Simplifique ${(7 x + 19)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x + 19) \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Mova $2$ para a esquerda de $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Combine $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{7 x + 2 (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x + 19))}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.1.2

Multiplique $2$ por $19$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.2

Some $7 x$ e $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.5

Mova $38$ para a esquerda de $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 \cdot e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.6

Reordene os fatores em $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3

Reordene os termos.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4

Fatore $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ de $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 24.4.1

Mova $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.2

Fatore $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ de $21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.3

Fatore $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ de $38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.4.4

Fatore $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ de $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$