Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 153} x - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - lim_{x \to 153} 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $153$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{lim_{x \to 153} x - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $153$ por $x$ .

$\frac{153 - 1 \cdot 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $153$ .

$\frac{153 - 153}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $153$ de $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - 13}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Etapa 1.1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Etapa 1.1.3.1.4

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - lim_{x \to 153} 13}$

Etapa 1.1.3.1.5

Avalie o limite de $13$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $153$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 153} x + 16} - 1 \cdot 13}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $153$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{153 + 16} - 1 \cdot 13}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Some $153$ e $16$ .

$\frac{0}{\sqrt{169} - 1 \cdot 13}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{13^{2}} - 1 \cdot 13}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{13 - 1 \cdot 13}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $13$ .

$\frac{0}{13 - 13}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $13$ de $13$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 153} \frac{x - 153}{\sqrt{x + 16} - 13} = lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x - 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 153$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 153]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 153$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 153$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16} - 13]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + 16} - 13$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 16}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 16}$ como ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x + 16)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 16$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 16] + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.5

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 16)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.13

Multiplique $\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{{(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.7.14

Mova ${(x + 16)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 13]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 13$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 153} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 153} 1 (2 {(x + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x + 16)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 16}$ .

$lim_{x \to 153} 1 (2 \sqrt{x + 16})$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 153} 2 \sqrt{x + 16}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 153} \sqrt{x + 16}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + lim_{x \to 153} 16}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $153$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 153} x + 16}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $153$ por $x$ .

$2 \sqrt{153 + 16}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $153$ e $16$ .

$2 \sqrt{169}$

Etapa 4.2

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$2 \sqrt{13^{2}}$

Etapa 4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \cdot 13$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $13$ .

$26$