Cálculo Exemplos

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 9

Mova ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

Etapa 10

Multiplique $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 11

Multiplique ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Mova ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 11.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 11.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 12

Simplifique $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

Etapa 13

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 14

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 16

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 17

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Etapa 19

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Etapa 20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Etapa 20.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

Etapa 20.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

Etapa 20.3

Reordene os fatores de $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

Etapa 20.4

Fatore $2 x$ de $16 x^{3} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.1

Fatore $2 x$ de $16 x^{3}$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

Etapa 20.4.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

Etapa 20.4.3

Fatore $2 x$ de $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Etapa 20.5

Multiplique $24 x^{2} - 3$ por $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ .

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Etapa 20.6

Fatore $3$ de $24 x^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.1

Fatore $3$ de $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Etapa 20.6.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

Etapa 20.6.3

Fatore $3$ de $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$