Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (7 x)$ e $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{7 x}$ e $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Combine $7$ e $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.4.2.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.6

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 4.8

Simplifique com fatoração.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 4.8.2

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

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Etapa 4.8.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 4.8.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Etapa 4.8.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Etapa 5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Simplifique $- 5 \ln (7 x)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Etapa 6.3

Eleve $7$ à potência de $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$