Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (x)}{\ln (x + 1)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 3

Combine $\ln (x + 1)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Combine.

$\frac{x (\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 6.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{x + 1}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \frac{\ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.2

Combine $x$ e $\frac{\ln (x)}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + 0)}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \cdot 1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 8

Para escrever $\ln (x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 10

Reescreva $\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$ como um produto.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}$ por $\frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x + 1) (x \ln^{2} (x + 1))}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $\ln (x + 1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.2.2

Reordene os fatores em $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.3

Combine os termos.

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Etapa 12.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x^{1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1 + 1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + x) \ln^{2} (x + 1)}$

Etapa 12.4

Reordene os termos.

$\frac{x \ln (x + 1) - x \ln (x) + \ln (x + 1)}{\ln^{2} (x + 1) (x^{2} + x)}$