Cálculo Exemplos

$\log_{5} (x^{8} + x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = x^{8} + x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{8} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{5} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{8} + x$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{8} + x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{8} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{8} + x) \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)} (8 x^{7} + 1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x^{8} \ln (5) + x \ln (5)}$

Etapa 3.3

Fatore $x \ln (5)$ de $x^{8} \ln (5) + x \ln (5)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x \ln (5)$ de $x^{8} \ln (5)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5)}$

Etapa 3.3.2

Fatore $x \ln (5)$ de $x \ln (5)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)}$

Etapa 3.3.3

Fatore $x \ln (5)$ de $x \ln (5) (x^{7}) + x \ln (5) (1)$ .

$(8 x^{7} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$

Etapa 3.4

Multiplique $8 x^{7} + 1$ por $\frac{1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$ .

$\frac{8 x^{7} + 1}{x \ln (5) (x^{7} + 1)}$