Cálculo Exemplos

$\log_{2} (x^{2} + 10 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = x^{2} + 10 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Etapa 1.2

A derivada de $\log_{2} (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x])$

Etapa 2.3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)}$

Etapa 3.3

Fatore $x \ln (2)$ de $x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x \ln (2)$ de $x^{2} \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + 10 x \ln (2)}$

Etapa 3.3.2

Fatore $x \ln (2)$ de $10 x \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)}$

Etapa 3.3.3

Fatore $x \ln (2)$ de $x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$

Etapa 3.4

Multiplique $2 x + 10$ por $\frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$ .

$\frac{2 x + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 x + 10$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Etapa 3.5.2

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x \ln (2) (x + 10)}$

Etapa 3.5.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x \ln (2) (x + 10)}$