Cálculo Exemplos

$\sqrt{4 x^{2} + 1600}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 1600}]$ como $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $4 x^{2} + 1600$ como $2^{2} (x^{2} + 400)$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 1600}]$

Etapa 1.1.2

Fatore $4$ de $1600$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 4 (400)}]$

Etapa 1.1.3

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (400)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2} + 400)}]$

Etapa 1.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x^{2} + 400)}]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 400}$ como ${(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 400$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 400$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 8

Simplifique os termos.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 8.3

Mova ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Etapa 8.6

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 400$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [400])$

Etapa 11

Como $400$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $400$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Etapa 12

Combine frações.

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Etapa 12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Etapa 12.2

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 12.3

Combine $\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$