Cálculo Exemplos

$\sqrt{\cos (x)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\cos (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7.3

Mova ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Separe as frações.

$- (\frac{\sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 10.2

Converta de $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ em ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3

Combine $\frac{\sin (x)}{2}$ e ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 10.4

Reordene os fatores em $- \frac{\sin (x) {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$