Cálculo Exemplos

$\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 4 y}$ como ${(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 4 y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x + 4 y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.6

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.13

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.15

Combine $\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.16

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.17

Mova ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.18

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 2.19

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x y}$ como ${(4 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Fatore $4$ de $4 x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.3

Aplique a regra do produto a $4 (x y)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{1} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.7

Avalie o expoente.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Etapa 3.10

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \cdot 1))$

Etapa 3.12

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.13

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.15.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.15.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (y \cdot 1))$

Etapa 3.17

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} y)$

Etapa 3.18

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)$

Etapa 3.19

Combine $\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Etapa 3.20

Mova ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.21

Combine $2$ e $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.22

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.23

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$