Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x^{6} - 7 x^{5} + 3}{x^{4}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{6}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.8

Multiplique $5$ por $- 7$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + 0) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.10

Some $12 x^{5} - 35 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 2.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.12.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.12.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

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Etapa 2.12.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4})$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 2.12.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Etapa 2.12.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{12 x \cdot x^{5} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x^{5}$ .

$\frac{12 (x^{5} x) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x^{5}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (x^{5} x^{1}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 x^{5 + 1} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $5$ e $1$ .

$\frac{12 x^{6} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{12 x^{6} - 35 x \cdot x^{4} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.4.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x^{1}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{4 + 1} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.4.3

Some $4$ e $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Etapa 4.3.1.7

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $8 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{6} - 35 x^{5} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Etapa 4.3.3

Some $- 35 x^{5}$ e $28 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{6} - 7 x^{5} - 12}{x^{5}}$