Cálculo Exemplos

$2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x) \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$2 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.6

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.8

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 (\cos (x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 2.9

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x) \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (2 x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (\cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 (\sin (2 x) (\sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\sin (x) (\sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

Etapa 4.3.4

Reordene os fatores de $- 2 \sin (2 x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (x) \sin (2 x) + 2 \sin (x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

Etapa 4.3.5

Some $- 2 \sin (x) \sin (2 x)$ e $2 \sin (x) \sin (2 x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) + 0 - \cos (2 x) \cos (x)$

Etapa 4.3.6

Some $4 \cos (x) \cos (2 x)$ e $0$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

Etapa 4.3.7

Reordene os fatores de $- \cos (2 x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$

Etapa 4.3.8

Subtraia $\cos (x) \cos (2 x)$ de $4 \cos (x) \cos (2 x)$ .

$3 \cos (x) \cos (2 x)$