Cálculo Exemplos

$2 x {(4 - x)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(4 - x)}^{2}$ como $(4 - x) (4 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

Etapa 2

Expanda $(4 - x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

Etapa 3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

Etapa 3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

Etapa 3.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

Etapa 4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - 8 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.2

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.6

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 6.9

Multiplique $16 - 8 x + x^{2}$ por $1$ .

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.6

Some $1$ e $1$ .

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.8

Multiplique $2$ por $16$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.9

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.10

Subtraia $16 x$ de $- 16 x$ .

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

Etapa 7.3.11

Some $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$6 x^{2} - 32 x + 32$