Cálculo Exemplos

$2 x {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x - 4)}^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 5.3

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 {(x - 4)}^{2}$ de $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Etapa 5.4

Some $3 x$ e $x$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Etapa 5.5

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 5.6

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 5.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 5.7.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 5.7.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 5.7.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Etapa 5.9

Simplifique.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Etapa 5.9.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Etapa 5.10

Expanda $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.2.1

Mova $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.11.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.2.3

Some $1$ e $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.11.6.1

Mova $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.7

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.8

Multiplique $- 4$ por $- 16$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.9

Multiplique $4$ por $32$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Etapa 5.11.10

Multiplique $32$ por $- 4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Etapa 5.12

Subtraia $64 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Etapa 5.13

Some $64 x$ e $128 x$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$