Cálculo Exemplos

$24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + x$ .

$24 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + x$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$24 (\frac{2}{3} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 8

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$24 (\frac{2 {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 9

Mova ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 (\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

Etapa 10

Combine $\frac{2}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ e $24$ .

$\frac{2 \cdot 24}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $24$ .

$\frac{48}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 12

Fatore $3$ de $48$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $3$ de $3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 16}{3 ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 16}{3 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Reordene os fatores de $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) \frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 17.2

Multiplique $2 x + 1$ por $\frac{16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 16}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 17.3

Mova $16$ para a esquerda de $2 x + 1$ .

$\frac{16 (2 x + 1)}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{3}}}$