Cálculo Exemplos

$2 x e^{5 x^{3}}$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{5 x^{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x^{3}}] + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x^{3}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{3}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{3}$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 (3 x^{2}))) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$2 (x (e^{5 x^{3}} (15 x^{2})) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{2} x^{1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (x^{2 + 1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Some $2$ e $1$ .

$2 (x^{3} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Mova $15$ para a esquerda de $e^{5 x^{3}}$ .

$2 (x^{3} (15 \cdot e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique $e^{5 x^{3}}$ por $1$ .

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}})) + 2 e^{5 x^{3}}$

Etapa 10.2

Multiplique $15$ por $2$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

Etapa 10.3

Reordene os termos.

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$

Etapa 10.4

Reordene os fatores em $30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$ .

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$