Cálculo Exemplos

$2 x \sin (x) \sqrt{3 x - 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x - 1}$ como ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.2.2

Mova ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.2.3

Combine $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.2.4

Combine $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.8

Combine frações.

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Etapa 8.8.1

Some $3$ e $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.8.2

Combine $\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$2 (\frac{x \sin (x) \cdot 3}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 8.8.3

Mova $3$ para a esquerda de $x \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 \cdot (x \sin (x))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 10

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 11.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

Etapa 11.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)))$

Etapa 12

Para escrever ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 13

Combine ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ e $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{3 x \sin (x) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16.2

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{1})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Simplifique.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Mova $2$ para a esquerda de $x \cos (x) + \sin (x)$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + 2 \cdot (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Combine $2$ e $\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \sin (x) + (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

Expanda $(2 x \cos (x) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 23.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x - 1) + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 23.2.1.2.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cdot x) \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x^{2} \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Some $3 x \sin (x)$ e $6 \sin (x) x$ .

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Etapa 23.2.2.1

Mova $\sin (x)$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2.2

Some $3 x \sin (x)$ e $6 x \sin (x)$ .

$\frac{9 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$